Probabilités
ESSI1

Chapitre 3 :
variables aléatoires discrètes

Exercice 3.5 On va vous poser deux questions Q1
et Q2. Si vous répondez juste à Qi, vous
gagnez Vi euros et le droit de répondre à Q3-i,

si votre réponse est fausse, le jeu s’arrête.

Vous connaissez pi la probabilité de répondre juste
à Qi.

Vous avez
le droit de choisir la première question, commencez vous par Q1
ou par Q2 ?

Si l’on choisit de répondre à Qi puis
à Q3-i, on gagne :

-
V1+V2 avec probabilité
pipj

-
Vi avec probabilité pi(1-pj)

-
0 avec probabilité 1-pi

L’espérance de gain est donc de (V1+V2)
pipj+ Vi pi(1-pj)

Il faut donc maximiser le produit Vi pi(1-pj)

Exercice 3.6

Quatre
bus transportant un total de 148 élèves, arrivent à un
stade. Les bus transportent respectivement, 40,33,25 et 50
élèves. Un des élèves est choisi au hasard parmi
les 148, soit X le nombre d’élèves qui étaient dans
son bus. Un des 4 chauffeurs est choisi aléatoirement, soit Y le nombre
d’élèves de son bus.

-
Entre
E[X] et E[Y], quelle est la plus grande ? Pourquoi?

-
Calculer
E[X] et E[Y]

Lorsque l’on choisit un des 148 élèves au hasard, ils
n’ont pas une probabilité ¼ d’être dans chaque
bus, plus le bus contient d’élèves, plus il y a donc de
chance d’avoir choisi un élève de ce bus. On aura donc
E  [X]>E[Y]

X peut valoir 40, 33, 25 ou 50 avec respectivement probabilités
10/148, 33/148, 25/148 et 50/148, donc E[X]=45,42

Y peut valoir 40, 33, 25 ou 50 avec toutes les probabilités ègales
à 1/4, donc E[Y]=37

Exercice 3.7

Soit X la
v.a. discrète qui prend les trois valeurs -1,0 et 1 avec
probabilité 1/3. Calculer E[X2]

X2 prend pour valeurs 1 et 0 avec probabilités
respectivement 2/3 et 1/3, son esperance vaut donc 2/3

Exercice3.8

Montrer
que E[aX+b]=aE[X]+b

E[aX+b]=

Exercice3.9

Soient X
et Y deux variables aléatoires discrètes, montrez que l’on
a E[X+Y]=E[X]+E[Y]

Exercice 3.10

Deux
dés à 4 faces sont lancés. Quelle est
l’espérance de la somme des deux valeurs? Du maximum des deux
valeurs?

L’espace
des probabilités est définit par W={(i,j),
1≤i,j≤4}

W est
muni de la probabilité uniforme, i.e. p(i,j)=1/16

i) Somme
des deux valeurs : On définit la variable aléatoire X de W dans  {2,3,..8} telle que
X((i,j))=i+j.

Pour
calculer on procède par énumération. Par exemple
P(X=3)=P(X –1 (3))=P({(1,2),(2,1)})=2/16.

On obtient
alors E(X)=5 .

Ou bien on
considère X comme la somme de deux variables aléatoires X1 et
X2  toutes deux suivant une loi
uniforme sur {1,2 ,3 ,4  } . On a alors E(X)=E(X1)+E(X2)=5.

ii) Maximum
des deux valeurs : On définit la variable aléatoire Y de W dans {1,2 ,3 ,4 } telle que

Y((i,j))
=Max((i,j)).

Pour
calculer on procède comme précédemment et on obtient

Y

1

2

3

4

P(Y)

1/16

3/16

5/16

7/16

Et donc on a
E[Y]=1/16+6/16+15/16+28/16=50/16

Exercice 3.11

Dix
chasseurs guettent le passage d’un vol de canards. Lorsque les canards
passent en groupe, les chasseurs font tous feu en même temps, mais chacun
d’eux choisit sa cible au hasard indépendamment des autres. On
admet que chaque chasseur touche son canard avec la même probabilité
p=3/4. (on admet aussi qu’en ratant un certain canard le chasseur
n’en tue pas « accidentellement » un autre ).
Combien de canards survivront au tir lorsque le vol se compose de 10 oiseaux.

Soit Xi la variable
aléatoire qui vaut 1 si le i-ème canard survit et 0 sinon.

On cherche
l’espérance de la somme des X i.

Le premier chasseur tue le i-ème
canard, si et seulement si il le choisit comme cible et il ne rate pas sa
cible, donc avec probabilité p/10. Il en est de même de tous les
autres chasseurs et ces événements sont indépendants. Donc
P(X i =1)=, et donc E[X i]=0,46 et en moyenne 4,6 canards
vont survivre au massacre si le vol se compose de 10 canards.

Exercice 3.12

Chaque
paquet de céréales contient une figurine à collectionner.
Il y a N figurines différentes, toutes ont la même
fréquence.

On
achète n paquets de céréales, quel est en moyenne le
nombre de figurines différentes obtenues.

Combien
faut-il en moyenne acheter de paquets de céréales pour obtenir
une collection complète.

a)      Notons Xi
la v.a. qui vaut 1 si la i-ème figurine est représentée
dans le lot et 0 sinon, on cherche l’espérance de la somme des Xi.

Or E[Xi]= probabilité pour que la ième figurine soit dans
le lot = 1 – probabilité pour qu’elle n’y soit pas =
1-(N-1/N)n.

Donc l’espérance recherchée est N( 1-(N-1/N)n.

b)
Notons Y la variable qui compte le nombre de paquets
de céréales à acquérir pour obtenir la collection
complète. Notons Yi 0£ i< N le nombre de
paquets de céréales à acheter pour obtenir une figurine nouvelle
une fois que l’on a déjà i sortes de figurines. Y est
égal à la somme des Yi.

Lorsque l’on a
déjà i sortes de figurines, un nouveau paquet contient une
figurine d’une nouvelle sorte avec probabilité (N-i/)N, par
conséquent P(Yi=k)=. C’est à dire que Yi est une variable
géométrique de paramètre (N-i)/N, on sait donc que son
espérance est N/(N-i). Donc l’espérance de Y est
égale à . Lorsque N tend vers l’infini, cette espérance
tend vers N ln N

Exercice 3.13

Prouvez:
Var(X)=E[X2]-E[X]2

Que vaut
E[X-E[X]] ?

E[(X-E[X])2]= E[X2 - 2E[X]X+E[X] 2 ]

= E[X2] - 2E[X]E[X]+E[X] 2

= E[X2] - E[X] 2

E[X-E[X]] = 0, par la linéarité de l’espérance

Exercice 3.14

Prouver
que Var(aX+b) = a2Var(X)

E[(aX+b) 2] =
E[a2X2 +2abX+b2]

= a2 E[X2]+2abE[X]+b2

Donc,

Var(aX+b) = a2
E[X2]+2abE[X]+b2 -(a E[X]+b) 2= a2 (E[X2]-E[X]
2)= a2Var(X)

Exercice 3.15

Déterminer
l’espérance d’une loi binomiale

Exercice 3.16

Déterminer
la Variance d’une variable binomiale

Exercice 3.17

Deux
joueurs lancent chacun n pièces non truquées.

Quelle
est la probabilité pour qu’ils obtiennent tous les deux k faces?

Quelle est la probabilité pour
qu’ils obtiennent tous les deux le même nombre de faces?

En
déduire que

Pour chaque
joueur, la variable aléatoire qui compte le nombre de faces obtenues est
une variable  binomiale de
paramètre (n,1/2).

La
probabilité pour que le premier joueur obtienne k faces est donc de

La
probabilité pour que les deux joueurs obtienne k faces est donc de  puisque les deux
événements « le joueur un obtient k faces »
et « le joueur deux obtient k faces sont
indépendants »

Soit F
l’événement, les deux joueurs obtiennent  le même nombre de faces .  Cet evenement est l’union disjointe
des evenements « les deux joueurs ont obtenus k faces »
pour k compris entre 0 et n.  P(F)
est donc égal à

L’espace
des épreuves est formé des mots de longueur 2n sur
l’alphabet { Pile, Face }. Il est muni de la probabilité uniforme.
Son cardinal est 22n c’est à dire 4n.

Parmi ces
mots, il y en a  qui comportent
autant de Pile que de Face. En effet si l’on choisit n positions parmi
les 2n et qu’on associe à chaque position de la première
moitié (premier joueur)  la
valeur face et à chaque position de la seconde moitié (second
joueur) la valeur pile, les deux joueurs auront autant de face [et
réciproquement].

La
probabilité pour que les deux joueurs obtiennent le même nombre de
faces est donc aussi égale à e

On a donc
bien

Exercice 3.18

Démontrer
que la loi de poisson est bien une loi de probabilité

Exercice 3.19

Supposons
que le nombre d’erreurs par page de ce cours suive une loi de Poisson de
paramètre 1/3.

Calculez
la probabilité pour qu’il y ait au moins une erreur sur une page.

La probabilité pour
qu’il n’y ait pas d’erreur sur une page donnée est
P(X=0) = e-l.

La probabilité pour qu’il y ait au moins une erreur est donc de 1-
e-l

Pour 1/3, cette
probabilité vaut à peu près 0,28 .

Exercice 3.20

Trouver
l’espérance et la variance d’une loi de Poisson

Exercice 3.21

On suppose
que le nombre d’accidents survenant quotidiennement sur une autoroute
suit une loi de Poisson de paramètre l=3

Quelle
est la probabilité pour qu’il survienne au moins 3 accidents un
jour donné ?

P(0 accident) = e-3

P(1 accident) = 3e-3

P(2 accidents) = 9/2 e-3

P( au moins 3 accidents) = 1-e-3(17/2)

= 0,58

Exercice 3.22

Montrer
que la loi géométrique est bien une probabilité

Rappelons que

Il suffit de vérifier S (1-p)n-1 p=1

Exercice 3.23

Calculer
l’espérance et la variance d’une variable aléatoire
géométrique de paramètre p.

Rappelons

Pour tout x compris entre 0 et 1.

L’espérance est donc égale à

E[X2]=

Et donc Var(X)=(1-p)/p2

Exercice 3.24

Combien
de fois en moyenne doit on lancer simultanément 6 pièces non
truquées avant d’obtenir trois piles et trois faces ?

L’espace des
épreuves est composé des 26 mots de longueur 6 sur
l’alphabet {Pile ,Face}. Il est muni de la probabilité uniforme.
Il correspond à l’expérience ”jeter une fois six
pièces”.

La probabilité p
d’obtenir 3 Piles et 3 Faces comme résultat de
l’expérience est  de .

Soit  la variable aléatoire X =
”nombre de fois qu’il faut jeter les six pièces pour obtenir
pour la première fois 3 Piles et 3 Faces simultanément” X
est une loi géométrique de paramètre p :

P(X=n)= et E[X]=1/p soit à peu près 3,2.

Exercice 3.25

On
suppose que la probabilité pour qu’une ampoule meurt durant le
k-ième mois de son existence est egal à 1/5 (4/5)k-1.Quatre
ampoules sont testées simultanément. Déterminer la
probabilité pour que:

–
Aucune
ampoule ne meurt durant le premier mois

–
Exactement
deux ampoules soient mortes à la fin du deuxième mois

–
Exactement
une ampoule meurt durant chacun des trois premiers mois

1. Chaque
ampoule une probabilité 1/5 de mourir durant le premier mois, elle a
donc une probabilité 4/5 de survivre. La probabilité pour
qu’aucune ampoule ne meurt durant le premier mois est donc de (4/5)4

2. La
probabilité pour qu’une ampoule soit morte à la fin des
trois premiers mois est de

La
probabilité pour qu’exactement deux ampoules soient mortes la fin
du troisième mois est donc de

3. Une
ampoule doit mourir le premier mois (probabilité 1/5) , une ampoule doit
mourir le second mois (probabilité 4/25), une ampoule doit mourir le
troisième mois (probabilité 16/125), et une ampoule doit survivre
au moins 4 mois (probabilité 64/125). Il y a 4.3.2=24 manières
d’ordonner 4 ampoules, la probabilité pour qu’exactement une
ampoule meurt dans

chacun des
trois premiers mois est donc de

–