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- Axiomes des probabilités
- Rappels d’analyse combinatoire
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- Une épreuve est le résultat d’une expérience aléatoire . W est l’ensemble de tous les résultats
possibles.
- Tout sous-ensemble de W est appelé événement.
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- Dans la première partie de ce cours, nous allons nous intéresser
uniquement au cas où l’espace des
épreuves est fini ou dénombrable
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- Plusieurs expériences aléatoires possibles
- Somme des deux résultats W1={2,3,4,5,…,12}
- Nombre de résultats pairs W 2 ={0,1,2}
- Égalité des deux résultats W 3 ={vrai, faux}
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5
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- Quel est l’espace des épreuves dans chacune des expériences
suivantes , est il fini , dénombrable, ni l’un ni l’autre ?:
- Une élection doit permettre de choisir entre le candidat A et le
candidat B
- Un dé à 4 faces est lancé
- On demande à un individu pris au hasard dans la rue, son mois et son
jour de naissance
- On choisit au hasard un élève dans cette salle
- Une note sur 20 vous est donnée à un examen
- Un dé est jeté jusqu’à ce qu’un 6 sorte, ce qui détermine la fin de
l’expérience.
- On choisit un point sur une droite
- Parmi ces expériences, quelles sont celles pour lesquelles il est
raisonnable de penser que la probabilité est une loi uniforme ?
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- Une fonction p, telle
- Pour tout événement E , 0£ p(E) £1
- p (W)=1
- Pour tout famille finie ou dénombrable {Ei} d’événements
disjoints:
- est une probabilité
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7
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- W={1,2,3,4,5,6}
- P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=1/5
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8
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- W={1,2,3,4,5,6}
- T = P(W)
- P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=1/6
- P(résultat pair) =1/3
- P(résultat impair)=1/3
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9
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- P(1)=1/9, P(2)=2/9, P(3)=1/9
- P(4)=2/9, P(5)=1/9, P(6)=2/9,
- P(résultat pair)=2/3, P(résultat impair)=1/3
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- Rappelons que x appartient à l’union de deux ensembles A et B s’il
appartient à l’un ou à l’autre et qu’il appartient à l’intersection s’il
appartient à l’un et à l’autre.
- Soit l’expérience jet d ’un dé, l’espace des épreuves W={1,2,3,4,5,6}
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- Considérons les événements suivants :
- A= le résultat est pair ={2,4,6}
- B= le résultat est au moins 5 ={5,6 }
- A ÇB = le résultat
est pair et est au moins égal à 5 ={6}
- AÈB = le résultat
est pair ou est au moins égal à 5 ={2,4,5,6}
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- Soient E,F et G trois événements. Trouver des expressions pour les
événements qui sont réalisés lorsque de E,F et G
- Seul E l’est
- E et G le sont, mais pas F
- Au moins deux d’entre eux le sont
- Les trois le sont
- Aucun ne l’est
- Au plus l’un des trois l’est
- Exactement deux le sont
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- Lorsque l’espace des épreuves est un espace fini, on appelle probabilité
uniforme la probabilité Punif
définie par :
- " wÎW , Punif (w)=1/cardinal(W)
- Propriété
- " AÌW , Punif (A)=cardinal(A)/cardinal(W)
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- W={1,2,3,4,5,6}
- T=P(W)
- " wÎW , Punif (w)=1/6
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- Quelle est la probabilité pour que la somme de deux dés soit égale à 7 ?
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- C’est un choix , pour avoir une probabilité uniforme, on considère que
les deux dès sont distingués et qu’il y a 36 résultats possibles
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- On peut aussi considérer que
- W={ {1,1} , {1,2}
, {1,3} , {1,4} , {1,5} , {1,6} ,{2,2} ,
- {2,3} , {2,4} , {2,5} , {2,6} , {3,3} , {3,4} , {3,5} , {3,6} ,
- {4,4} , {4,5} , {4,6} , {5,5} , {5,6} , {6,6} }
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18
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- Quel est le nombre de manières différentes de choisir un
sous-ensemble de 8 cartes dans un jeu de 32 ?
- On choisit 8 cartes, une par une, dans un jeu de 32 cartes et on les
étale devant soi en ligne. Combien d’étalages possibles ?
- On choisit 8 fois de suite une carte dans un jeu de 32 cartes, après
chaque tirage on note le résultat, et on remet la carte dans le jeu.
Combien de résultats possibles ?
- Dans lesquels de ces trois cas, les résultats sont-ils
équiprobables ?
- Dans le cas de tirage avec remise, qu’elle est la probabilité de sortir
8 fois l’as de cœur ? de sortir tous les cœurs ?
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- Au poker, on utilise un jeu de 52 cartes avec 4 couleurs de cartes
(pique, trèfle, carreau, cœur). Une main comprend 5 cartes. Une main est
une couleur si les 5 cartes sont de la même couleur.
- Quelle est la probabilité de recevoir une couleur?
- Quelle est la probabilité de recevoir un carré d’as?
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- Si AC est l’événement complémentaire de A, alors P(AC)
= 1-P(A)
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- Si A est inclus dans B , alors il existe C tel que B = A U C, et A et C
sont disjoints
- P(A)+P(C)=P(B)
- P(C)>=0
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- P(A) = P(A Ç B) +
P(A - B)
- car A = (A Ç B) È(A - B) et (A Ç B) et (A-B) sont
disjoints
- P(B) =P(B Ç A) +
P(B - A)
- P(A ÈB)=
P(A-B)+P(A Ç
B) + P(B-A)
- =P(A)-P(A Ç B)+P(A
Ç B)
+P(B)-P(A Ç
B)
- =P(A)+P(B)- P(A Ç
B)
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- W={(P,P),(P,F),(F,F),(F,P)}
- P loi uniforme
- E=« la première pièce tombe sur pile »
- F=« la deuxième pièce tombe sur pile »
- Calculez P(E), P(F) et P(EÈF)
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- N personnes sont dans une salle. Quelle est la probabilité pour qu’au
moins deux d’entre elles aient la même date de naissance (pour
simplifier, on supposera les naissances équiréparties sur 365 jours par
an). A partir de combien de personnes cette probabilité est-elle
supérieure à ½ ?
- N personnes, dont vous, sont dans une salle. Quelle est la
probabilité pour qu’une autre personne au moins ait la même date de
naissance que vous ((pour simplifier, on supposera les naissances
équiréparties sur 365 jours par an). A partir de combien de personnes
cette probabilité est-elle supérieure à ½ ?
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- La formule devient
- P(AÈB ÈC)=P(A)+P(B)+P(C)
- -(P(AÇB)+P(A ÇC)+P(B ÇC))
- +P(A ÇB ÇC)
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- P (A È B È C)=P((A È B) È C)=
- P(A È B)+P(C)-P((A
È B) Ç C)=
- P (A È B)+
P(C)-P((A Ç
C) È(B ÇC))=
- P(A)+P(B)-P(A Ç
B)+P(C)-P(A Ç
C)-P(B Ç
C)+P(A Ç B Ç C)
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- A faire tranquillement à la maison par induction sur n.
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- Un tiroir contient n chaussettes dont 3 rouges. Quelle doit être la
valeur de n, pour que si l’on choisit 2 chaussettes aléatoirement, la
probabilité qu’elles soient toutes les deux rouges soit le plus proche
possible de 1/2
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- 10 couples sont assis au hasard autour d’une table. Calculer la
probabilité pour qu’aucune femme ne soit assise à coté de son mari.
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- Principe fondamental de dénombrement
- Arrangements
- Combinaisons
- Coefficients binomiaux
- Coefficients multinomiaux
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- Supposons que l’on ait deux expériences à réaliser . Si une épreuve peut
produire n1 résultats possibles pour la première expérience
et que chacun de ces résultats puisse produire n2 résultats
possibles pour la seconde expérience, alors il y a n1n2 résultats
possibles pour les deux expériences prises ensemble
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- On choisit un mot au hasard dans le dictionnaire
- Première épreuve : valeur de la première lettre : 26 possibilités
- Deuxième épreuve : valeur de la dernière lettre : 26 possibilités
- (première lettre, dernière lettre) = 26.26 possibilités
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- Soit E un un ensemble fini de cardinal n
- On appelle arrangement de k objets de E une suite ordonnée de k objets
distincts de E.
- On note Ank le nombre d ’arrangements de k
objets pris parmi n. On a
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36
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- Il y a 22 partants (et arrivants)
à Auteuil, et pas d ’ex-aequo.
- Combien y-a-t-il de résultats possibles pour le tiercé dans l’ordre ?
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- Un arrangement de n objets pris parmi n est une permutation de ces n
objets. Il y n! permutations possibles de n objets distinguables.
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- Soit E un un ensemble fini de cardinal n
- On appelle combinaisons de k objets de E un sous-ensemble (non-ordonné)
de k objets distincts de E.
- On note Cnk le nombre de combinaisons de k objets
pris parmi n. On a
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- Il y a 22 partants (et arrivants)
à Auteuil, et pas d ’ex-aequo.
- Combien y-a-t-il de résultats possibles pour le tiercé dans l’ordre ou
le désordre?
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- Les Cnp sont appelés coefficients binomiaux et
vérifient :
- Identité remarquable :
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- De combien de manières différentes peut on subdiviser un ensemble de n
objets distincts en r paquets (distinguables) de taille respective ni
avec Sni=n ?
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