1	"Définitions" Définitions Fonction de répartition Variables aléatoires discrètes Variables aléatoires continues Lois conjointes
2	Variable aléatoire On appelle variable aléatoire une fonction du résultat d’une expérience aléatoire à valeur dans R Exemples : Expérience 1: lancé de trois dés X = somme des trois dés Y= maximum des trois dés Z= nombre de dés portant la valeur 6
3	Suite des exemples Expérience 2 : on lance une pièce jusqu’à ce qu’on obtienne deux piles de suite X= nombre total de lancés Y= nombre de piles Z= nombre de faces Expérience 3: on observe un arrêt de bus X = temps d’attente du bus 165 Y= nombre de personnes montant dans le bus 165
4	Fonction de répartition d’une variable aléatoire La fonction de répartition F d’une variable aléatoire X est définie pour tout réel b, par F(b) = P(X£b)
5	Exercice 3.1
6	Variable aléatoire discrète Une variable aléatoire est discrète si l’ensemble de ses valeurs est fini ou dénombrable.
7	Fonction de répartition d’une variable discrète
8	Exercice 3.2 La fonction de répartition d’une variable X est donnée par Quelle est la loi de probabilité de X?
9	Exercice 3.3 Déterminer la fonction de répartition des variables aléatoires S =somme de deux dés, P = produit de deux dés.
10	Remarque La fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète est toujours une fonction en escalier, et prend un nombre fini ou dénombrable de valeurs.
11	Espérance d’une v.a. discrète On appelle espérance (ou moyenne) de la variable aléatoire X et l’on note E[X] la quantité suivante (si elle est définie) :
12	Exercice 3.4 Un jeu utilise trois dés ordinaires. Un joueur peut parier un euro sur n’importe quel numéro entre un et six. On lance les dés, si le numéro du joueur n’apparaît pas, il a perdu sa mise, si le numéro sort k fois, il récupère sa mise plus k euros. Quelle est l’esperance de gain du joueur?
13	Exercice 3.5 On va vous poser deux questions Q₁ et Q₂. Si vous répondez juste à Q_i, vous gagnez V_i francs et le droit de répondre à Q_3-i, si votre réponse est fausse, le jeu s’arrête. Vous connaissez p_i la probabilité de répondre juste à Q_i. Vous avez le droit de choisir la première question, commencez vous par Q₁ ou par Q₂?
14	Exercice 3.6 Quatre bus transportant un total de 148 élèves, arrivent à un stade. Les bus transportent respectivement, 40,33,25 et 50 élèves. Un des élèves est choisi au hasard parmi les 148, soit X le nombre d’élèves qui étaient dans son bus. Un des 4 chauffeurs est choisi aléatoirement, soit Y le nombre d’élèves de son bus. Entre E[X] et E[Y], quelle est la plus grande ? Pourquoi? Calculer E[X] et E[Y]
15	Espérance d’une fonction d’une v.a. discrète Soit X une v.a. discrète et soit g une fonction de R dans R. On désire calculer E[g(X)]. Comme g(X) est une v.a. discrète, on peut calculer sa distribution de probabilité et en déduire son espérance.
16	Exemple 3.7 Soit X la v.a. discrète qui prend les trois valeurs -1,0 et 1 avec probabilité 1/3. Calculer E[X²]
17	Calcul direct de E[g(X)] En fait il n’est pas nécessaire de calculer la distribution de g[X], la distribution de X suffit : Si X est une v.a. discrète dont les valeurs possibles sont les x_i avec probabilité p(x_i), alors pour toute fonction g de R dans R, E[g(X)]=
18	Corollaire 3.8 : linéarité de l’espérance E[aX+b]=aE[X]+b (en particulier E[aX]=aE[X] et E[b]=b !!) Preuve : E[aX+b]= à vous …
19	Corollaire 3.9 :Espérance d’une somme Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes, on a E[X+Y]=E[X]+E[Y] Preuve : à vous…
20	Exercice 3.10 Deux dés à 4 faces sont lancés. Quelle est l’espérance de la somme des deux valeurs? Du maximum des deux valeurs?
21	Exercice 3.11 Dix chasseurs guettent le passage d’un vol de canards. Lorsque les canards passent en groupe, les chasseurs font tous feu en même temps, mais chacun d’eux choisit sa cible au hasard indépendamment des autres. On admet que chaque chasseur touche son canard avec la même probabilité p=3/4. (on admet aussi qu’en ratant un certain canard le chasseur n’en tue pas « accidentellement » un autre ). Combien de canards survivront au tir lorsque le vol se compose de 10 oiseaux .
22	Exercice 3.12 Chaque paquet de céréales contient une figurine à collectionner. Il y a N figurines différentes, toutes ont la même fréquence. On achète n paquets de céréales, quel est en moyenne le nombre de figurines différentes obtenues. Combien faut-il en moyenne acheter de paquets de céréales pour obtenir une collection complète.
23	Variance But : mesurer la dispersion autour de la moyenne. On appelle variance de X, et l’on note s²(X) ou Var(X) l’espérance de (X-E[X])².
24	Exercice 3.13 Prouvez: Var(X)=E[X²]-E[X]²
25	Écart type On appelle écart type s(X) d’une variable aléatoire X la racine carrée de sa variance. On ramène la variation de X à la dimension de X.
26	Exemples P(X=-1)=1/3, P(X=0)=1/3, P(X=1)=1/3 P(Y= -1)=0, P(Y=0)=1, P(Y=1)=0 P(Z=-1)=1/2, P(Z=0)=0,P(Z=1)=1/2 P(T=-100)=1/2, P(T=0)=0,P(T=100)=1/2 E[X]=E[Y]=E[Z]=E[T]=0 Var(X)=2/3, Var(Y)=0, Var(Z)=1, Var(T)=10000
27	Exercice 3.14 Prouver que Var(aX+b) = a²Var(X)
28	Lois usuelles Loi binomiale loi de Poisson loi géométrique
29	Variable binomiale Une v.a. discrète est dite de Bernouilli si elle prend la valeur 1 avec probabilité p et la valeur 0 avec probabilité 1-p On effectue n épreuves indépendantes, chacune réussit avec probabilité p et échoue avec probabilité 1-p. La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès parmi les n épreuves est la variable binomiale de paramètre (n,p), B(n,p)
30	Loi binomiale La loi de probabilité de la variable aléatoire binomiale de paramètres (n,p) est donnée par P(i succès)=
31	Exercice 3.15 : déterminer l’espérance d’une loi binomiale
32	Remarque Ce résultat peut être démontré en remarquant que la variable aléatoire binomiale de paramètre (n,p) peut être vue comme la somme de n variables de Bernouilli de paramètre p, et que l’espérance d’une variable de Bernouilli de paramètre p est p
33	Exercice 3.16 : déterminer la Variance d’une variable binomiale
34	Graphe de binomiale(10,1/2).2¹⁰
35	Exercice 3.17 Deux joueurs lancent chacun n pièces non truquées. Quelle est la probabilité pour qu’ils obtiennent tous les deux k faces? Quelle est la probabilité pour qu’ils obtiennent tous les deux le même nombre de faces? En déduire que
36	Loi de Poisson Une variable aléatoire discrète X à valeur entière est dite de Poisson avec paramètre l s’il existe un réel l tel que
37	La courbe y=e^-^ll^x/x! pour l=3
38	Exercice 3.18 : démontrer que la loi de poisson est bien une loi de probabilité
39	Importance de la loi de Poisson On verra plus loin, que la loi de Poisson permet de modéliser bon nombre de phénomènes du monde réel : quand la probabilité d’arriver d’un événement pendant une courte durée D(t) est aD(t), ceci indépendamment des événements déjà arrivés.
40	Exercice 3.19 Supposons que le nombre d’erreurs par page de ce cours suive une loi de Poisson de paramètre 1/3. Calculez la probabilité pour qu’il y ait au moins une erreur sur une page.
41	Exercice 3.20 :
42	Exercice 3.21 On suppose que le nombre d’accidents survenant quotidiennement sur une autoroute suit une loi de Poisson de paramètre l=3 Quelle est la probabilité pour qu’il survienne au moins 3 accidents un jour donné ?
43	Loi géométrique Cas typique : on exécute une série d’épreuves indépendantes ayant chacune probabilité p de réussite. L’expérience s’arrête au premier succès. La v.a. X est le nombre d’épreuves réalisées. P(X=n) = (1-p)^n-1p On dit que X est une variable aléatoire géométrique de paramètre p. Exercice 3.22 : P est bien une probabilité.
44	Exercice 3.23 Calculer l’espérance et la variance d’une variable aléatoire géométrique de paramètre p.
45	Exercice 3.24 Combien de fois en moyenne doit on lancer simultanément 6 pièces non truquées avant d’obtenir trois piles et trois faces ?
46	Exercice 3.25 On suppose que la probabilité pour qu’une ampoule meurt durant le k-ième mois de son existence est egal à 1/5 (4/5)^k-1.Quatre ampoules sont testées simultanément. Déterminer la probabilité pour que: Aucune ampoule ne meurt durant le premier mois Exactement deux ampoules soient mortes à la fin du deuxième mois Exactement une ampoule meurt durant chacun des trois premiers mois